Fixed-point theorem

定义 Definition

不动点定理：一类数学定理，说明在某些条件下，一个函数/映射 \(f\) 至少存在一个点 \(x\)，使得 \(f(x)=x\)（即“点在映射下保持不变”，称为不动点）。常见版本包括 Banach 不动点定理（与压缩映射有关）和 Brouwer 不动点定理（与拓扑有关）。

例句 Examples

A fixed-point theorem guarantees that the equation \(f(x)=x\) has a solution.
不动点定理保证方程 \(f(x)=x\) 至少有一个解。

Using the Banach fixed-point theorem, we can prove that an iterative method converges to a unique solution under a contraction condition.
利用 Banach 不动点定理，我们可以证明在满足压缩条件时，某种迭代方法会收敛到唯一解。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌfɪkst ˈpɔɪnt ˈθiːərəm/

词源 Etymology

fixed-point 由 fixed（固定的）+ point（点）构成，直观表示“映射后仍不移动的点”；theorem 来自希腊语 theōrēma，意为“经过推理得到的结论/定理”。该术语在现代数学（尤其是分析与拓扑）中用于概括“在特定结构与条件下必然存在不动点”的结果。

相关词 Related Words

• Banach
• Brouwer
• Schauder
• Fixed Point
• Contraction
• Iteration
• Topology
• Functional Analysis
• Equilibrium

文学与名著中的用例 Literary Works

• Stefan Banach，《Theory of Linear Operations》（线性算子理论；相关思想背景，常与 Banach 不动点定理一同讨论）
• Walter Rudin，《Functional Analysis》（函数分析；涉及多种不动点思想与应用）
• James R. Munkres，《Topology》（拓扑学教材；讨论 Brouwer 不动点定理等经典结果）
• Andrzej Granas & James Dugundji，《Fixed Point Theory》（不动点理论专著；系统整理大量不动点定理）